Com o irmão João Timóteo da Costa, Arthur iniciou-se como aprendiz da Casa da Moeda. No livro Pinturas & pintores do Rio Antigo, Donato Mello Júnior informa que "muito contribuiu, no início da sua carreira, a vivência com o cenógrafo italiano Oreste Coliva".

Ingressou na Escola Nacional de Belas Artes em 1894, como aluno livre, tendo sido orientado por Zeferino da Costa, Rodolfo Amoedo e Henrique Bernardelli. Em 1907, conquistou o prêmio de viagem à Europa na Exposição Geral de Belas Artes, seguindo então para Paris. Com o irmão João Timótheo e os irmãos Carlos Chambelland e Rodolfo Chambelland, participou em 1911 dos trabalhos de decoração do pavilhão brasileiro da Exposição Internacional de Turim, na Itália.